CURVATURA Y TORSIÓN DE LA HÉLICE CIRCULAR: UN ESTUDIO ANALÍTICO MEDIANTE LAS FÓRMULAS DE FRENET-SERRET

En este trabajo se realiza un estudio analítico y geométrico de la hélice circular mediante las ecuaciones de Frenet–Serret, nuestro objetivo es calcular la curvatura (\kappa) y la torsión (\tau) para la hélice de parámetro r(t)=(a\cos\funcapply t,a\sin\funcapply t,bt) a travez del triedro de Frenet-Serret, interpretar geométricamente sus valores y relacionar los resultados con el teorema fundamental de las curvas espaciales. Se derivaron los vectores tangentes (T), normal (N) y binormal (B), y se calcularon \kappa y \tau usando sus definiciones diferenciales: \kappa=\parallel\frac{dT}{ds}\parallel, \tau=-B^\prime(s)\cdotN(s). Los resultados esperados de este trabajo son: Primeramente, tanto la torsión como la curvatura son constante, por consiguiente la relación \kappa/\tau=a/b define la pendiente helicoidal, y por último, se confirma que la hélice es la única curva (salvo isometrías) con \kappa y \tau constantes no nulas. Estos hallazgos explican su presencia en sistemas naturales (ADN) e ingenieriles (resortes), donde la constancia de \kappa y \tau garantiza propiedades dinámicas óptimas. La investigación valida el poder predictivo de Frenet-Serret en la geometría diferencial y su relevancia interdisciplinaria.